Giải tích Ví dụ

$\sin (4 x) \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (4 x)$ và $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sin (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (4 x)$ .

$2 \cdot \sin (4 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \sin (4 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Bước 7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) \cdot 4$

Bước 7.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (x) \cos (4 x)$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + 4 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (4 x))$

Bước 7.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (4 x) + 4 \cos^{2} (x) \cos (4 x)$