Giải tích Ví dụ

$\tan (x) (5 \sin (x) + 7 \cos (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 5 \sin (x) + 7 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [5 \sin (x) + 7 \cos (x)] + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 \sin (x) + 7 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \sin (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\tan (x) (5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 \cos (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (5 \cos (x) + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (5 \cos (x) + 7 (- \sin (x))) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\tan (x) (5 \cos (x) - 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 7

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (5 \cos (x) - 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\tan (x) (5 \cos (x)) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + (5 \sin (x) + 7 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\tan (x) (5 \cos (x)) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + 5 \sin (x) \sec^{2} (x) + 7 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Bước 8.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$5 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 7 \sin (x)) + 5 \sin (x) \sec^{2} (x) + 7 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Bước 8.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 \cos (x) \tan (x) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$5 (\cos (x) \tan (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.1.2

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x) \cos (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.1.3

Viết lại $5 \cos (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$5 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$5 \sin (x) - 7 \sin (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$5 \sin (x) - 7 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3

Nhân $- 7 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $- 7$ .

$5 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 7}{\cos (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3.2

Kết hợp $\frac{\sin (x) \cdot - 7}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$5 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 7 \sin (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \sin (x) + \frac{- 7 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \sin (x) + \frac{- 7 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \sin (x) + \frac{- 7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$5 \sin (x) + \frac{- 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sec^{2} (x) \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.5

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.8

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.9

Kết hợp $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8.5.10

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Bước 8.5.11

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Bước 8.5.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 7 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Bước 8.5.13

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Bước 8.5.14

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.14.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Bước 8.5.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Bước 8.5.14.3

Viết lại biểu thức.

$5 \sin (x) - \frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{7}{\cos (x)}$

Bước 8.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \sin (x) + \frac{- 7 \sin^{2} (x) + 7}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.7

Sắp xếp lại $- 7 \sin^{2} (x)$ và $7$ .

$5 \sin (x) + \frac{7 - 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.8

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$5 \sin (x) + \frac{7 (1) - 7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.9

Đưa $7$ ra ngoài $- 7 \sin^{2} (x)$ .

$5 \sin (x) + \frac{7 (1) + 7 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.10

Đưa $7$ ra ngoài $7 (1) + 7 (- \sin^{2} (x))$ .

$5 \sin (x) + \frac{7 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.11

Áp dụng đẳng thức pytago.

$5 \sin (x) + \frac{7 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.12

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{2} (x)$ và $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.12.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $7 \cos^{2} (x)$ .

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.12.2.1

Nhân với $1$ .

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \sin (x) + \frac{\cos (x) (7 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 \sin (x) + \frac{7 \cos (x)}{1} + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.12.2.4

Chia $7 \cos (x)$ cho $1$ .

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.13.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.13.2

Tách các phân số.

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 8.13.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{\cos (x)} \tan (x)$

Bước 8.13.4

Tách các phân số.

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Bước 8.13.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + \frac{5}{1} \sec (x) \tan (x)$

Bước 8.13.6

Chia $5$ cho $1$ .

$5 \sin (x) + 7 \cos (x) + 5 \sec (x) \tan (x)$