Giải tích Ví dụ

$\ln (\csc (5 x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \csc (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 2

Viết lại $\csc (5 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 4

Nhân $\sin (5 x)$ với $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Bước 6.4

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Bước 7.2

Viết lại $\cot (5 x)$ theo sin và cosin.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Bước 7.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Bước 7.5

Viết lại $\csc (5 x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.6

Nhân $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $\frac{1}{\sin (5 x)}$ với $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.6.2

Nâng $\sin (5 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.6.3

Nâng $\sin (5 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Bước 7.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.7

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (5 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ vào tử số.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.7.2

Đưa $\sin (5 x)$ ra ngoài $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Bước 7.7.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 7.9

Tách các phân số.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Bước 7.10

Quy đổi từ $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ sang $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Bước 7.11

Chia $5$ cho $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Bước 7.12

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$