Giải tích Ví dụ

$\ln (\sec (\frac{2}{x}))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sec (\frac{2}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (\frac{2}{x})$ .

$\frac{1}{\sec (\frac{2}{x})} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 2

Viết lại $\sec (\frac{2}{x})$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$1 \cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 4

Nhân $\cos (\frac{2}{x})$ với $1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{2}{x})]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{2}{x}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))$

Bước 6.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) \frac{- 2}{x^{2}}$

Bước 7.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{2}{x^{2}})$

Bước 7.2.3

Kết hợp $\cos (\frac{2}{x})$ và $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\sec (\frac{2}{x}) \tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}})$

Bước 7.2.4

Kết hợp $\sec (\frac{2}{x})$ và $\frac{\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\tan (\frac{2}{x}) (- \frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\tan (\frac{2}{x})$ và $\frac{\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2)}{x^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (\cos (\frac{2}{x}) \cdot 2))}{x^{2}}$

Bước 7.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (\sec (\frac{2}{x}) (2 \cdot \cos (\frac{2}{x})))}{x^{2}}$

Bước 7.2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\tan (\frac{2}{x}) (2 \cdot \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x}))}{x^{2}}$

Bước 7.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x}) \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $\tan (\frac{2}{x})$ theo sin và cosin.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \sec (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.2

Viết lại $\sec (\frac{2}{x})$ theo sin và cosin.

$- \frac{2 \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.2

Nhân $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ với $\frac{1}{\cos (\frac{2}{x})}$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.3

Nâng $\cos (\frac{2}{x})$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.4

Nâng $\cos (\frac{2}{x})$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{1} (\frac{2}{x}) \cos^{1} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{{\cos (\frac{2}{x})}^{1 + 1}} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})} \cos (\frac{2}{x})}{x^{2}}$

Bước 7.3.3.7

Kết hợp $\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ và $\cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Bước 7.3.4

Rút gọn biểu thức $\frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.1

Đưa $\cos (\frac{2}{x})$ ra ngoài $2 \sin (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos^{2} (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Bước 7.3.4.2

Đưa $\cos (\frac{2}{x})$ ra ngoài $\cos^{2} (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Bước 7.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{\cos (\frac{2}{x}) (2 \sin (\frac{2}{x}))}{\cos (\frac{2}{x}) \cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Bước 7.3.4.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}}{x^{2}}$

Bước 7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Bước 7.5

Kết hợp.

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Bước 7.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{2 \sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x}) x^{2}}$

Bước 7.7

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})})$

Bước 7.8

Quy đổi từ $\frac{\sin (\frac{2}{x})}{\cos (\frac{2}{x})}$ sang $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- (\frac{2}{x^{2}} \tan (\frac{2}{x}))$

Bước 7.9

Kết hợp $\frac{2}{x^{2}}$ và $\tan (\frac{2}{x})$ .

$- \frac{2 \tan (\frac{2}{x})}{x^{2}}$