Giải tích Ví dụ

$\sec (\frac{1}{2} x) \tan (\frac{1}{2} x)$

Bước 1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{1}{2} x)]$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (\frac{x}{2})$ và $g (x) = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 4

Nâng $\sec (\frac{x}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{1} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (\frac{x}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $2$ và $1$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 6.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec^{3} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 6.5

Nhân $\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 7.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 8

Nâng $\tan (\frac{x}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 9

Nâng $\tan (\frac{x}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan^{1} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + {\tan (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2} \sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13.2

Kết hợp $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ và $\sec (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Bước 15

Nhân $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$ với $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$