Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 4

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x - 4)]$

Bước 4.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x - 4)]$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x - 4)]$

Bước 4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x - 4)]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x - 4)]$

Bước 4.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 4)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x - 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.4.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 13

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.3

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.8

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.9

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2.12

Cộng $2 x^{\frac{1}{2}}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$