Giải tích Ví dụ

$f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 x^{2} + 3)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3] + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $5$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $10 x$ và $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.6.2

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.8

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.10

Nhân $8$ với $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(10 (8 x) + 10 x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 (8 x) x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $8$ với $10$ .

$80 x \cdot x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$80 (x^{1} x) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$80 (x^{1} x^{1}) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$80 x^{1 + 1} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$80 x^{2} + 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$80 x^{2} + 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.3.10

Cộng $2$ và $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Bước 11.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$80 x^{2} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Khai triển $(5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$80 x^{2} + 5 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1

Nhân $8$ với $5$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.2.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $5 x^{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.2.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.4

Kết hợp $x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{5}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.6

Nhân $3$ với $8$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.5.2.7

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.6

Cộng $80 x^{2}$ và $40 x^{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 11.7

Để viết $10 x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.8

Kết hợp $10 x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Đưa $5 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1.1

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.1.2

Đưa $5 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.1.3

Đưa $5 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.1.4

Đưa $5 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.3

Cộng $1$ và $4$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.10.4

Nhân $5$ với $5$ .

$120 x^{2} + \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$