Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(1 - 3 e^{x})}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 1 - 3 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - 3 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - 3 e^{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - 3 e^{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 3 e^{x}$ .

$2 (1 - 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - 3 e^{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 3 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 (1 - 3 e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (1 - 3 e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 (1 - 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Bước 2.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{x}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 - 3 e^{x}) (- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 2.5

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- 6 (1 - 3 e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 6 (1 - 3 e^{x}) e^{x}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- 6 \cdot 1 - 6 (- 3 e^{x})) e^{x}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 6 \cdot 1 e^{x} - 6 (- 3 e^{x}) e^{x}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6 e^{x} - 6 (- 3 e^{x}) e^{x}$

Bước 4.3.2

Nhân $- 3$ với $- 6$ .

$- 6 e^{x} + 18 e^{x} e^{x}$

Bước 4.3.3

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$- 6 e^{x} + 18 (e^{x} e^{x})$

Bước 4.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 e^{x} + 18 e^{x + x}$

Bước 4.3.3.3

Cộng $x$ và $x$ .

$- 6 e^{x} + 18 e^{2 x}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$18 e^{2 x} - 6 e^{x}$