Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(2 x - 7)}^{10} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(2 x - 7)}^{10}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Bước 2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{10}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{10}$ và $g (x) = 2 x - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 u^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Bước 4.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Bước 4.4

Nhân $2$ với $1$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Bước 4.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} (2 + 0))$

Bước 4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (10 {(2 x - 7)}^{9} \cdot 2)$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $10$ .

${(2 x - 7)}^{10} (- \sin (x)) + \cos (x) (20 {(2 x - 7)}^{9})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- {(2 x - 7)}^{10} \sin (x) + 20 {(2 x - 7)}^{9} \cos (x)$ .

$- \sin (x) {(2 x - 7)}^{10} + 20 \cos (x) {(2 x - 7)}^{9}$