Giải tích Ví dụ

$7 e^{- 3 x} \ln (x)$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 e^{- 3 x} \ln (x)$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- 3 x}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 4

Kết hợp $e^{- 3 x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \frac{e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $7$ và $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Bước 7.2.2

Nhân $- 3$ với $7$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} - 21 \ln (x) e^{- 3 x}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 21 e^{- 3 x} \ln (x) + \frac{7 e^{- 3 x}}{x}$