Giải tích Ví dụ

$\arctan (x e^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Bước 4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

Bước 5.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ .

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Bước 5.4

Nhân $x e^{x} + e^{x}$ với $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Bước 5.5

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x} + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Bước 5.5.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Bước 5.5.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$