Giải tích Ví dụ

$\arctan (\frac{x}{y})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y}$ đối với $x$ là $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $y$ và $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Bước 3.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Bước 3.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để viết $y$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Bước 3.4.3

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Bước 3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Bước 3.6

Nhân $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ với $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$