Giải tích Ví dụ

$\frac{f (x) (\sin (14 x))}{\sin (7 x)}$

Bước 1

Vì $f (x)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{f (x) \sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ đối với $x$ là $f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$

Bước 2

Viết lại $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ ở dạng một tích.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Bước 3

Viết $\sin (14 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia $\sin (14 x)$ cho $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Bước 4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (7 x)}$ sang $\csc (7 x)$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \csc (7 x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (14 x)$ và $g (x) = \csc (7 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)] + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 7.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 7.4

Nhân $- 7$ với $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 14 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \cdot 1))$

Bước 9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $14$ với $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) \cdot 14)$

Bước 9.3.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $\csc (7 x) \cos (14 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 \cdot (\csc (7 x) \cos (14 x)))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x))) + f (x) (14 \csc (7 x) \cos (14 x))$

Bước 10.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $f (x)$ .

$f (x) \sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 f (x) \csc (7 x) \cos (14 x)$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 7 \cot (7 x) \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Viết lại $\cot (7 x)$ theo sin và cosin.

$- 7 \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$\frac{- 7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(7) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.4

Viết lại $\csc (7 x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.5

Nhân $- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.5.1

Nhân $\frac{1}{\sin (7 x)}$ với $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.5.2

Nâng $\sin (7 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.5.3

Nâng $\sin (7 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin^{1} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{{\sin (7 x)}^{1 + 1}} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.6

Kết hợp $\sin (14 x)$ và $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{\sin (14 x) (7 \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.7

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $\sin (14 x)$ .

$- \frac{7 \cdot \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.8

Kết hợp $f (x)$ và $\frac{7 \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{f (x) (7 \sin (14 x) \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.9

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $f (x)$ .

$- \frac{7 \cdot f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Bước 10.4.10

Viết lại $\csc (7 x)$ theo sin và cosin.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)} f (x)$

Bước 10.4.11

Nhân $14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.11.1

Kết hợp $\frac{1}{\sin (7 x)}$ và $14$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14}{\sin (7 x)} \cos (14 x) f (x)$

Bước 10.4.11.2

Kết hợp $\frac{14}{\sin (7 x)}$ và $\cos (14 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)} f (x)$

Bước 10.4.12

Kết hợp $\frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ và $f (x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Đưa $\sin (7 x)$ ra ngoài $\sin^{2} (7 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.2

Tách các phân số.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.3

Viết lại $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.4

Viết $\sin (14 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.5.1

Chia $\sin (14 x)$ cho $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (7 x)}$ sang $\csc (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.6

Tách các phân số.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.7

Quy đổi từ $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ sang $\cot (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.8

Chia $7 f (x)$ cho $1$ .

$- (7 f (x) \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.9

Nhân $7$ với $- 1$ .

$- 7 (f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x)) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.10

Tách các phân số.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$

Bước 10.5.11

Viết lại $\frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ ở dạng một tích.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Bước 10.5.12

Viết $\cos (14 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\frac{\cos (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})$

Bước 10.5.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.13.1

Chia $\cos (14 x)$ cho $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Bước 10.5.13.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (7 x)}$ sang $\csc (7 x)$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \csc (7 x))$

Bước 10.5.14

Chia $14 f (x)$ cho $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$

Bước 10.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$ .

$- 7 \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$