Giải tích Ví dụ

$\cos (\arctan (2 x))$

Bước 1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (2 x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, 2 x)$ . Do đó, $\cos (\arctan (2 x))$ là $\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}}]$

Bước 1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + {(2 (x))}^{2}}}]$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}}}]$

Bước 1.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}]$

Bước 1.3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ ở dạng ${(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3.4

Viết lại $\frac{1}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.3.5

Nhân các số mũ trong ${({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + 4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} {(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7.2

Kết hợp ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(1 + 4 x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Bước 11

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 12.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 12.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Bước 16

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 16.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 16.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 16.4

Kết hợp $\frac{- 4}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 16.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x}{{(1 + 4 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$