Giải tích Ví dụ

$- \csc (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Bước 1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\csc (u)$ đối với $u$ là $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ với $1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.2.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 3.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 3.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $x^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 10

Kết hợp $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ và $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Bước 11

Kết hợp $\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ và $\frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}})}{2}$

Bước 12

Di chuyển $x^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$