Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Bước 1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \ln (\frac{1}{x})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Bước 2.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Bước 2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Bước 2.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Bước 2.9

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Bước 2.10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Bước 3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - \frac{3}{x}$

Bước 3.2.3

Trừ $\frac{3}{x}$ khỏi $0$ .

$- \frac{3}{x}$