Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sec (3 x^{2} + 5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (3 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Bước 3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 (\sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 5

Nâng $\sec (3 x^{2} + 5)$ lên lũy thừa $1$ .

$12 (\sec^{1} (3 x^{2} + 5) \sec^{2} (3 x^{2} + 5)) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 {\sec (3 x^{2} + 5)}^{1 + 2} (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 7

Cộng $1$ và $2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 11

Nhân $2$ với $3$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 12

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + 0)$

Bước 13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $6 x$ và $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x)$

Bước 13.2

Nhân $6$ với $12$ .

$72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$

Bước 13.3

Sắp xếp lại các thừa số của $72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$ .

$72 x \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5)$