Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \sqrt{6 x^{2} - 7 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 x^{2} - 7 x}$ ở dạng ${(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 6 x^{2} - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $6 x^{2} - 7 x$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x^{2} - 7 x$ .

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 7 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(6 x^{2} - 7 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(6 x^{2} - 7 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 9

Di chuyển ${(6 x^{2} - 7 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x])$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{4}{2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x]$

Bước 11

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x]$

Bước 12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x]$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x]$

Bước 12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7 x]$

Bước 13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 14

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 16

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 17

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 18

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 7 \cdot 1)$

Bước 19

Nhân $- 7$ với $1$ .

$\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 7)$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 7)$ .

$(12 x - 7) \frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.2

Nhân $12 x - 7$ với $\frac{2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(12 x - 7) \cdot 2}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $12 x - 7$ .

$\frac{2 (12 x - 7)}{{(6 x^{2} - 7 x)}^{\frac{1}{2}}}$