Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 e^{- 3 x} \tan (2 x)$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{- 3 x} \tan (2 x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \tan (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \tan (2 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- 3 x}$ và $g (x) = \tan (2 x)$ .

$4 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 3 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 3 x$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

Bước 6.3.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (e^{- 3 x} (2 \sec^{2} (2 x))) + 4 (\tan (2 x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Bước 7.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$8 (e^{- 3 x} (\sec^{2} (2 x))) + 4 (\tan (2 x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Bước 7.2.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$8 e^{- 3 x} \sec^{2} (2 x) - 12 \tan (2 x) e^{- 3 x}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 e^{- 3 x} \sec^{2} (2 x) - 12 e^{- 3 x} \tan (2 x)$