Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \ln (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.3

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{6}{x^{6}}$ và $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{5}$ và $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $x^{5}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 e^{x}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Bước 5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Bước 5.2

Cộng $4$ và $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$