Giải tích Ví dụ

$f (x) = 6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (7 x^{3} + 10 x^{2})] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$6 (x^{2} (\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ và $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{3} + 10 x^{2}] + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{3} + 10 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{3}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.5

Nhân $3$ với $7$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.6

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{2}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 10 (2 x)) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.8

Nhân $2$ với $10$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 (\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x)) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}}$ và $6$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Bước 5.2.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 6 (\ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) (2 x))$

Bước 5.2.3

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} (21 x^{2} + 20 x) + 12 \ln (7 x^{3} + 10 x^{2}) x$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$(21 x^{2} + 20 x) \frac{6 x^{2}}{7 x^{3} + 10 x^{2}} + 12 x \ln (7 x^{3} + 10 x^{2})$