Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 24 x + 10$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 x + 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $24$ với $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $24$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $24$ với $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $24$ với $- 2$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 2$ với $10$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $48 x^{2}$ khỏi $24 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 24 x^{2} - 20 x + 24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 24 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 20 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ và có tổng là $b = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.2

Viết lại $- 5$ ở dạng $4$ cộng $- 9$

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 3 x + 2$ .

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Viết lại $- (3 x - 2)$ ở dạng $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.12

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$