Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$

Bước 1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{\sin^{2} (7 x)}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}]$

Bước 2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (7 x)}$ sang $\csc^{2} (7 x)$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (7 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \csc (7 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (7 x)$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (7 x)$ .

$- 3 (2 \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- 6 (\csc (7 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 x$ .

$- 6 \csc (7 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$6 \csc (7 x) (\csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 7

Nâng $\csc (7 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 8

Nâng $\csc (7 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\csc^{1} (7 x) \csc^{1} (7 x)) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 {\csc (7 x)}^{1 + 1} (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 10

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \csc^{2} (7 x) (\cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 11

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Nhân $7$ với $6$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x) \cdot 1$

Bước 14

Nhân $42$ với $1$ .

$42 \csc^{2} (7 x) \cot (7 x)$