Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{{(4 x + 1)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = {(4 x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 4 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.4

Nhân $4$ với $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + 0))$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $4$ và $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \cdot 4)$

Bước 3.6.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x + 1))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x) + 8 \cdot 1)$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $4$ với $8$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8 \cdot 1)$

Bước 4.2.2

Nhân $8$ với $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8)$