Giải tích Ví dụ

$f (x) = \cot^{2} (\sin (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (\sin (x))$ .

$2 \cot (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\sin (x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$2 \cot (\sin (x)) (- \csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) (\csc^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \cot (\sin (x)) \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.2

Viết lại $\csc (\sin (x))$ theo sin và cosin.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cos (x) \cot (\sin (x))$

Bước 5.7

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Bước 5.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x))$

Bước 5.9

Viết lại $\cot (\sin (x))$ theo sin và cosin.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$

Bước 5.10

Nhân $- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Nhân $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ với $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Bước 5.10.2

Nhân $\sin (\sin (x))$ với $\sin^{2} (\sin (x))$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Nhân $\sin (\sin (x))$ với $\sin^{2} (\sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1.1

Nâng $\sin (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{1} (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Bước 5.10.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{{\sin (\sin (x))}^{1 + 2}}$

Bước 5.10.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (x)) (2 \cos (x))}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Bước 5.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (\sin (x))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (\sin (x))}$

Bước 5.12

Đưa $\sin (\sin (x))$ ra ngoài $\sin^{3} (\sin (x))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (x)) \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin^{2} (\sin (x))}$

Bước 5.13

Tách các phân số.

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))})$

Bước 5.14

Quy đổi từ $\frac{\cos (\sin (x))}{\sin (\sin (x))}$ sang $\cot (\sin (x))$ .

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Bước 5.15

Đưa $\sin (\sin (x))$ ra ngoài $\sin^{2} (\sin (x))$ .

$- (\frac{2 \cos (x)}{\sin (\sin (x)) \sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Bước 5.16

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))} \cot (\sin (x)))$

Bước 5.17

Viết lại $\frac{\cos (x)}{\sin (\sin (x))}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.18

Viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.19.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (\sin (x))}) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.19.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ sang $\csc (\sin (x))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.20

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (x))} (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.21

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\sin (x))}$ sang $\csc (\sin (x))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.22

Chia $2$ cho $1$ .

$- (2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x))) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.23

Nhân $2 \csc (\sin (x)) (\cos (x) \csc (\sin (x)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.23.1

Nâng $\csc (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.23.2

Nâng $\csc (\sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (x)) \csc^{1} (\sin (x))) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.23.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (2 {\csc (\sin (x))}^{1 + 1} \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.23.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x)))$

Bước 5.24

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (x)) \cos (x) \cot (\sin (x))$