Giải tích Ví dụ

Ước tính Giới Hạn giới hạn khi x tiến dần đến 0 của ( căn bậc hai của x+1- căn bậc hai của 2x+1)/( căn bậc hai của 3x+4- căn bậc hai của 2x+4)
Bước 1
Áp dụng quy tắc l'Hôpital
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.
Bước 1.1.2
Tính giới hạn của tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.2
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 1.1.2.3
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.4
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.5
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 1.1.2.6
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.7
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 1.1.2.8
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 1.1.2.9
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.9.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.2.9.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.2.10
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.10.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.10.1.1
Cộng .
Bước 1.1.2.10.1.2
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 1.1.2.10.1.3
Nhân với .
Bước 1.1.2.10.1.4
Cộng .
Bước 1.1.2.10.1.5
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 1.1.2.10.1.6
Nhân với .
Bước 1.1.2.10.2
Trừ khỏi .
Bước 1.1.3
Tính giới hạn của mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.1
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.3.2
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 1.1.3.3
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.3.4
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 1.1.3.5
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 1.1.3.6
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 1.1.3.7
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 1.1.3.8
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 1.1.3.9
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 1.1.3.10
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.10.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.3.10.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 1.1.3.11
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.11.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.11.1.1
Nhân với .
Bước 1.1.3.11.1.2
Cộng .
Bước 1.1.3.11.1.3
Viết lại ở dạng .
Bước 1.1.3.11.1.4
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 1.1.3.11.1.5
Nhân với .
Bước 1.1.3.11.1.6
Cộng .
Bước 1.1.3.11.1.7
Viết lại ở dạng .
Bước 1.1.3.11.1.8
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 1.1.3.11.1.9
Nhân với .
Bước 1.1.3.11.2
Trừ khỏi .
Bước 1.1.3.11.3
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.1.3.12
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.1.4
Biểu thức chứa một phép chia cho . Biểu thức không xác định.
Không xác định
Bước 1.2
ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.
Bước 1.3
Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
Tính đạo hàm tử số và mẫu số.
Bước 1.3.2
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.3.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.3.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.3.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.3.3.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.3.3.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3.5
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.3.6
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.3.3.7
Kết hợp .
Bước 1.3.3.8
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.3.3.9
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.3.9.1
Nhân với .
Bước 1.3.3.9.2
Trừ khỏi .
Bước 1.3.3.10
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.3.3.11
Cộng .
Bước 1.3.3.12
Kết hợp .
Bước 1.3.3.13
Nhân với .
Bước 1.3.3.14
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.3.4
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.4.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.3.4.2
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.4.3.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.3.4.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.4.3.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.3.4.4
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4.5
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.4.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4.8
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.3.4.9
Kết hợp .
Bước 1.3.4.10
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.3.4.11
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.4.11.1
Nhân với .
Bước 1.3.4.11.2
Trừ khỏi .
Bước 1.3.4.12
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.3.4.13
Nhân với .
Bước 1.3.4.14
Cộng .
Bước 1.3.4.15
Kết hợp .
Bước 1.3.4.16
Kết hợp .
Bước 1.3.4.17
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 1.3.4.18
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.3.4.19
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.3.4.20
Viết lại biểu thức.
Bước 1.3.5
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.6
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.6.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.3.6.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.6.2.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.3.6.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.6.2.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.3.6.3
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.6.4
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.6.5
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.6.6
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.6.7
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.3.6.8
Kết hợp .
Bước 1.3.6.9
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.3.6.10
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.6.10.1
Nhân với .
Bước 1.3.6.10.2
Trừ khỏi .
Bước 1.3.6.11
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.3.6.12
Nhân với .
Bước 1.3.6.13
Cộng .
Bước 1.3.6.14
Kết hợp .
Bước 1.3.6.15
Kết hợp .
Bước 1.3.6.16
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 1.3.6.17
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.3.7
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.7.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 1.3.7.2
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.7.3
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng trong đó .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.7.3.1
Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ở dạng .
Bước 1.3.7.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.7.3.3
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 1.3.7.4
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.7.5
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.7.6
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.7.7
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.7.8
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.3.7.9
Kết hợp .
Bước 1.3.7.10
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.3.7.11
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.7.11.1
Nhân với .
Bước 1.3.7.11.2
Trừ khỏi .
Bước 1.3.7.12
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 1.3.7.13
Nhân với .
Bước 1.3.7.14
Cộng .
Bước 1.3.7.15
Kết hợp .
Bước 1.3.7.16
Kết hợp .
Bước 1.3.7.17
Di chuyển sang phía bên trái của .
Bước 1.3.7.18
Di chuyển sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm .
Bước 1.3.7.19
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.3.7.20
Viết lại biểu thức.
Bước 1.4
Chuyển đổi các số mũ phân số sang căn thức.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.2
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.3
Viết lại ở dạng .
Bước 1.4.4
Viết lại ở dạng .
Bước 1.5
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.1
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.5.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.5.3
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.3.1
Nhân với .
Bước 1.5.3.2
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 1.5.3.3
Nhân với .
Bước 1.5.3.4
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 1.5.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 1.5.5
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.5.6
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 1.5.7
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.7.1
Nhân với .
Bước 1.5.7.2
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 1.5.7.3
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.7.3.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.7.3.2
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.7.3.3
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.7.4
Nhân với .
Bước 1.5.7.5
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 1.5.7.6
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.5.7.6.1
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.7.6.2
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.7.6.3
Đưa ra ngoài .
Bước 1.5.8
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 2
Tính giới hạn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.2
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.3
Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.4
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.5
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.6
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.7
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.8
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.9
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.10
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.11
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.12
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.13
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.14
Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.15
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.16
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.17
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.18
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.19
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.20
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.21
Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.22
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.23
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.24
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.25
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.26
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.27
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.28
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.29
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.30
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.31
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.32
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.33
Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.
Bước 2.34
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.35
Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.36
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.37
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 2.38
Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi tiến dần đến .
Bước 2.39
Chuyển số hạng ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với .
Bước 2.40
Tính giới hạn của mà không đổi khi tiến dần đến .
Bước 3
Tính các giới hạn bằng cách điền vào cho tất cả các lần xảy ra của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.2
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.3
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.4
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.5
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.6
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.7
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 3.8
Tính giới hạn của bằng cách điền vào cho .
Bước 4
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 4.1.2
Viết lại biểu thức.
Bước 4.2
Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.
Bước 4.3
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.3.1
Nhân với .
Bước 4.3.2
Cộng .
Bước 4.3.3
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 4.3.4
Cộng .
Bước 4.3.5
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 4.3.6
Nhân với .
Bước 4.3.7
Trừ khỏi .
Bước 4.4
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.4.1
Nhân với .
Bước 4.4.2
Cộng .
Bước 4.4.3
Nhân với .
Bước 4.4.4
Cộng .
Bước 4.4.5
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 4.5
Chia cho .
Bước 4.6
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.6.1
Nhân với .
Bước 4.6.2
Cộng .
Bước 4.6.3
Nhân với .
Bước 4.6.4
Cộng .
Bước 4.6.5
Nhân với .
Bước 4.6.6
Viết lại ở dạng .
Bước 4.6.7
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 4.7
Rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.7.1
Nhân với .
Bước 4.7.2
Cộng .
Bước 4.7.3
Viết lại ở dạng .
Bước 4.7.4
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 4.7.5
Nhân với .
Bước 4.7.6
Nhân với .
Bước 4.7.7
Cộng .
Bước 4.7.8
Viết lại ở dạng .
Bước 4.7.9
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 4.7.10
Nhân với .
Bước 4.7.11
Trừ khỏi .
Bước 4.8
Chia cho .
Bước 4.9
Nhân với .