Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{3 + 2 f (x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 + 2 f x}$ ở dạng ${(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 3 + 2 f x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 + 2 f x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 f x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(3 + 2 f x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 2 f x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(3 + 2 f x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 2 f x]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 2 f x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 f x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 f x])$

Bước 9

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 f x])$

Bước 10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 f x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 f x]$

Bước 11

Vì $2 f$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 f x$ đối với $x$ là $2 f \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} (2 f \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} (f \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.2

Kết hợp $f$ và $\frac{2}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{f \cdot 2}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $f$ .

$\frac{2 \cdot f}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 f}{2 {(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{f}{{(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{f}{{(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{f}{{(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{f}{{(3 + 2 f x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{f}{{(2 f x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$