Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

Bước 1.5

Nhân $2$ với $18$ .

$u_{upper} = 36$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $36$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $6$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.6

Nhân $2$ với $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $432$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $432$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.7.2.4

Chia $144$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.8

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.9

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 6.2.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 6.2.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 6.2.12

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

Bước 6.2.13

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

Bước 6.2.14

Cộng $144$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 144$

Bước 6.2.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $144$ .

$\frac{144}{2}$

Bước 6.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $144$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $144$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

Bước 6.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

Bước 6.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{72}{1}$

Bước 6.2.16.2.4

Chia $72$ cho $1$ .

$72$

Bước 7