Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{x^{4}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{x^{4}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{x^{4}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{4}})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{x^{4}})$ bằng cách di chuyển $x^{4}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4} \ln (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{4} \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 4

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.2.2.5

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + e^{x^{4} \ln (x)} (\ln (x) (4 x^{3}))$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + 4 e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} \ln (x)$