Giải tích Ví dụ

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 - 2 \cos (x)} < 1$

Bước 1

Đưa $2$ ra ngoài $2 - 2 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) - 2 \cos (x)} < 1$

Bước 1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (x)$ .

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1) + 2 (- \cos (x))} < 1$

Bước 1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} < 1$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong bất đẳng thức với $2 (1 - \cos (x))$ .

$1 (2 (1 - \cos (x))) - \frac{x^{2}}{6} (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $2 (1 - \cos (x))$ với $1$ .

$2 (1 - \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 (- \cos (x)) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{6}$ vào tử số.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{6} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 (3)} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{2 \cdot 3} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.5.4

Viết lại biểu thức.

$2 - 2 \cos (x) + \frac{- x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot (1 - \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} \cdot 1 - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} \cdot (- \cos (x)) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.9

Nhân $- \frac{x^{2}}{3} (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + 1 (\frac{x^{2}}{3}) \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.9.2

Nhân $\frac{x^{2}}{3}$ với $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \cos (x) < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 3.9.3

Kết hợp $\frac{x^{2}}{3}$ và $\cos (x)$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))} \cdot (2 (1 - \cos (x))) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < 2 (\frac{x \sin (x)}{2 (1 - \cos (x))}) \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $1 - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < \frac{x \sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot (1 - \cos (x)) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 1 (2 (1 - \cos (x)))$

Bước 7

Nhân $2 (1 - \cos (x))$ với $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 (1 - \cos (x))$

Bước 8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))$

Bước 9

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 + 2 (- \cos (x))$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3} < x \sin (x) < 2 - 2 \cos (x)$

Bước 10

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(2 - 2 \cos (x) - \frac{x^{2}}{3} + \frac{x^{2} \cos (x)}{3}, 2 - 2 \cos (x))$

Bước 11