Giải tích Ví dụ

$| x - 3 | + | x + 2 | < 11$

Bước 1

Thay thế $<$ bằng $=$ trong $| x - 3 | + | x + 2 | < 11$ .

$| x - 3 | + | x + 2 | = 11$

Bước 2

Trừ $| x - 3 |$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$| x + 2 | = 11 - | x - 3 |$

Bước 3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x + 2 = \pm (11 - | x - 3 |)$

Bước 4

Kết quả bao gồm cả phần dương và phần âm của dấu $\pm$ .

$x + 2 = 11 - | x - 3 |$

$x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$

Bước 5

Giải $x + 2 = 11 - | x - 3 |$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giải tìm $| x - 3 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $11 - | x - 3 | = x + 2$ .

$11 - | x - 3 | = x + 2$

Bước 5.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $| x - 3 |$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Trừ $11$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- | x - 3 | = x + 2 - 11$

Bước 5.1.2.2

Trừ $11$ khỏi $2$ .

$- | x - 3 | = x - 9$

Bước 5.1.3

Chia mỗi số hạng trong $- | x - 3 | = x - 9$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- | x - 3 | = x - 9$ cho $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Bước 5.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Bước 5.1.3.2.2

Chia $| x - 3 |$ cho $1$ .

$| x - 3 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 9}{- 1}$

Bước 5.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{x}{- 1}$ .

$| x - 3 | = - 1 \cdot x + \frac{- 9}{- 1}$

Bước 5.1.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot x$ ở dạng $- x$ .

$| x - 3 | = - x + \frac{- 9}{- 1}$

Bước 5.1.3.3.1.3

Chia $- 9$ cho $- 1$ .

$| x - 3 | = - x + 9$

Bước 5.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (- x + 9)$

Bước 5.3

Kết quả bao gồm cả phần dương và phần âm của dấu $\pm$ .

$x - 3 = - x + 9$

$x - 3 = - (- x + 9)$

Bước 5.4

Giải $x - 3 = - x + 9$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x - 3 + x = 9$

Bước 5.4.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x - 3 = 9$

Bước 5.4.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 9 + 3$

Bước 5.4.2.2

Cộng $9$ và $3$ .

$2 x = 12$

Bước 5.4.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 12$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 12$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Bước 5.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{12}{2}$

Bước 5.4.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{12}{2}$

Bước 5.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.3.1

Chia $12$ cho $2$ .

$x = 6$

Bước 5.5

Giải $x - 3 = - (- x + 9)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn $- (- x + 9)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Viết lại.

$x - 3 = 0 + 0 - (- x + 9)$

Bước 5.5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$x - 3 = - (- x + 9)$

Bước 5.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x - 3 = - - x - 1 \cdot 9$

Bước 5.5.1.4

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x - 3 = 1 x - 1 \cdot 9$

Bước 5.5.1.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x - 3 = x - 1 \cdot 9$

Bước 5.5.1.5

Nhân $- 1$ với $9$ .

$x - 3 = x - 9$

Bước 5.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x - 3 - x = - 9$

Bước 5.5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 3 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$0 - 3 = - 9$

Bước 5.5.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3 = - 9$

Bước 5.5.3

Vì $- 3 \neq - 9$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5.6

Hợp nhất các đáp án.

$x = 6$

Bước 6

Giải $x + 2 = - (11 - | x - 3 |)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giải tìm $| x - 3 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $- (11 - | x - 3 |) = x + 2$ .

$- (11 - | x - 3 |) = x + 2$

Bước 6.1.2

Rút gọn $- (11 - | x - 3 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 1 \cdot 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 1$ với $11$ .

$- 11 - - | x - 3 | = x + 2$

Bước 6.1.2.3

Nhân $- - | x - 3 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 11 + 1 | x - 3 | = x + 2$

Bước 6.1.2.3.2

Nhân $| x - 3 |$ với $1$ .

$- 11 + | x - 3 | = x + 2$

Bước 6.1.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $| x - 3 |$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Cộng $11$ cho cả hai vế của phương trình.

$| x - 3 | = x + 2 + 11$

Bước 6.1.3.2

Cộng $2$ và $11$ .

$| x - 3 | = x + 13$

Bước 6.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (x + 13)$

Bước 6.3

Kết quả bao gồm cả phần dương và phần âm của dấu $\pm$ .

$x - 3 = x + 13$

$x - 3 = - (x + 13)$

Bước 6.4

Giải $x - 3 = x + 13$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x - 3 - x = 13$

Bước 6.4.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 3 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$0 - 3 = 13$

Bước 6.4.1.2.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3 = 13$

Bước 6.4.2

Vì $- 3 \neq 13$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 6.5

Giải $x - 3 = - (x + 13)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn $- (x + 13)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Viết lại.

$x - 3 = 0 + 0 - (x + 13)$

Bước 6.5.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$x - 3 = - (x + 13)$

Bước 6.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x - 3 = - x - 1 \cdot 13$

Bước 6.5.1.4

Nhân $- 1$ với $13$ .

$x - 3 = - x - 13$

Bước 6.5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x - 3 + x = - 13$

Bước 6.5.2.2

Cộng $x$ và $x$ .

$2 x - 3 = - 13$

Bước 6.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 13 + 3$

Bước 6.5.3.2

Cộng $- 13$ và $3$ .

$2 x = - 10$

Bước 6.5.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 10$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 10$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Bước 6.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Bước 6.5.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 10}{2}$

Bước 6.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.4.3.1

Chia $- 10$ cho $2$ .

$x = - 5$

Bước 6.6

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 5$

Bước 7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 6, - 5$

Bước 8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 5$

$- 5 < x < 6$

$x > 6$

Bước 9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 5$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 5$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 8$

Bước 9.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (- 8) - 3 | + | (- 8) + 2 | < 11$

Bước 9.1.3

Vế trái $17$ không nhỏ hơn vế phải $11$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 5 < x < 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 5 < x < 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 9.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (0) - 3 | + | (0) + 2 | < 11$

Bước 9.2.3

Vế trái $5$ nhỏ hơn vế phải $11$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 6$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 6$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 8$

Bước 9.3.2

Thay thế $x$ bằng $8$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$| (8) - 3 | + | (8) + 2 | < 11$

Bước 9.3.3

Vế trái $15$ không nhỏ hơn vế phải $11$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 5$ Sai

$- 5 < x < 6$ Đúng

$x > 6$ Sai

$x < - 5$ Sai

$- 5 < x < 6$ Đúng

$x > 6$ Sai

Bước 10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 5 < x < 6$

Bước 11

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 5, 6)$

Bước 12