Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Bước 2

Phân tích $x^{2} - 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 4, 1$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 4

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 4.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 4) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 4, - 1$

Bước 7

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 8

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = 5$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.2.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.3

Trừ $20$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 9.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Bước 9.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Bước 10

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.2.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.3

Trừ $20$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 10.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Bước 10.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Bước 10.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 2 + i$

Bước 11

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.2.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.3

Trừ $20$ khỏi $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 11.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Bước 11.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Bước 11.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 2 - i$

Bước 12

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + i, 2 - i$

Bước 13

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Bước 14

Hợp nhất các đáp án.

$x = 4, - 1$

Bước 15

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Bước 16

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 16.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Bước 16.1.3

Vế trái $0.\overline{648}$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 16.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 16.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Bước 16.2.3

Vế trái $- 0.8$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 16.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 16.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Bước 16.3.3

Vế trái $0.82352941$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 16.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 17

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 < x < 4$

Bước 18

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 1, 4)$

Bước 19