Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{2 y} = x - 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{2 y} = x - 1$ cho $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $e^{2 y}$ cho $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 3.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 3.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Khai triển $\ln (e^{2 y})$ bằng cách di chuyển $2 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 3.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 3.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 3.6

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Bước 3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Bước 3.6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Bước 5.2.3

Viết lại $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Bước 5.2.4

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.5.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6.1.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6.1.3

Chia $0$ cho $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6.1.4

Cộng $e^{2 x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2.6.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Bước 5.2.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.7

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Bước 5.2.8

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Bước 5.2.9

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Bước 5.3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Bước 5.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Bước 5.3.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$