Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn $x (1 - e^{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Bước 3.3.2.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $x e^{y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Bước 3.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Bước 3.4.3

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} + x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân với $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Bước 3.4.3.2

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Bước 3.4.3.3

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 + x) = x - 1$ cho $1 + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 + x) = x - 1$ cho $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Bước 3.4.5

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 3.4.6.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Bước 5.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Bước 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ với $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Bước 5.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Bước 5.2.6

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Bước 5.2.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Bước 5.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Bước 5.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.3

Nhân $- e^{x} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.3.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.5

Cộng $0$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.7.6

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Nhân $1 - e^{x}$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Bước 5.2.8.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Bước 5.2.8.3

Cộng $- e^{x}$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Bước 5.2.8.4

Cộng $2$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Bước 5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Bước 5.2.9.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.10

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.11

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.12

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.5

Viết lại $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Cộng $x$ và $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.3.5.3

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Bước 5.3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Bước 5.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$