Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn $x (e^{y} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Bước 3.3.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $x e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Bước 3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Bước 3.4.3

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} - x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân với $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Bước 3.4.3.2

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Bước 3.4.3.3

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Bước 3.4.4

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 - x) = x + 1$ cho $1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 - x) = x + 1$ cho $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Bước 3.4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Bước 3.4.4.2.1.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Bước 3.4.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Bước 3.4.5

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Bước 3.4.6

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Bước 3.4.6.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Bước 3.4.6.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ với $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.5

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ vào tử số.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Bước 5.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Nhân $e^{x} + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.6.2

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.6.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.6.4

Cộng $2 e^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $e^{x} + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Bước 5.2.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Bước 5.2.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Bước 5.2.7.4

Trừ $e^{x}$ khỏi $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Bước 5.2.7.5

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Bước 5.2.7.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Bước 5.2.8.2

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.9

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.10

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.11

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6

Viết lại $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.3

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.6.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.4

Cộng $x$ và $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.3.6.6

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Bước 5.3.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Bước 5.3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Bước 5.3.4.5.3

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Bước 5.3.7

Nhân $\frac{x}{- x + 1}$ với $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Bước 5.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $- x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Bước 5.3.8.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$