Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế với $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 2 e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Bước 3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn $x (1 + 2 e^{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Bước 3.3.2.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $2 x e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Bước 3.4.2

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân với $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Bước 3.4.2.2

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Bước 3.4.2.3

Đưa $e^{y}$ ra ngoài $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Bước 3.4.3

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 - 2 x) = x$ cho $1 - 2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (1 - 2 x) = x$ cho $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Bước 3.4.3.2.1.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Bước 3.4.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Bước 3.4.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Bước 3.4.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Bước 3.4.5.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Bước 5.2.4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Bước 5.2.4.6

Viết lại $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.6.1

Trừ $2 e^{x}$ khỏi $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Bước 5.2.4.6.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Bước 5.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Bước 5.2.6

Nhân $2 e^{x} + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Bước 5.2.7

Nhân $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ với $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Bước 5.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $2 e^{x} + 1$ và $1 + 2 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Bước 5.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Bước 5.2.8.3

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Bước 5.2.9

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Bước 5.2.10

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Bước 5.2.11

Nhân $x$ với $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Bước 5.3.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Bước 5.3.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Bước 5.3.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Bước 5.3.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Bước 5.3.4.5

Viết lại $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.5.1

Cộng $- 2 x$ và $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Bước 5.3.4.5.2

Cộng $1$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Bước 5.3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$