Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- 8 x}$

Bước 1

Viết $f (x) = e^{- 8 x}$ ở dạng một phương trình.

$y = e^{- 8 x}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = e^{- 8 y}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{- 8 y} = x$ .

$e^{- 8 y} = x$

Bước 3.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

Bước 3.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $\ln (e^{- 8 y})$ bằng cách di chuyển $- 8 y$ ra bên ngoài lôgarit.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

Bước 3.3.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

Bước 3.3.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

Bước 3.4

Chia mỗi số hạng trong $- 8 y = \ln (x)$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 y = \ln (x)$ cho $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Bước 3.4.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ có là hàm ngược của $f (x) = e^{- 8 x}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

Bước 5.2.3

Khai triển $\ln (e^{- 8 x})$ bằng cách di chuyển $- 8 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8 x \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

Bước 5.2.4.2.4

Chia $- x \ln (e)$ cho $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

Bước 5.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

Bước 5.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (x)}{8}$ vào tử số.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $8$ ra ngoài $- 8$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

Bước 5.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

Bước 5.3.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

Bước 5.3.4.2

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ là hàm ngược của $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$