Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 1

Viết $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 y^{2} + 3 y + 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y^{2} + 3 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} + 3 y + 1 = x$

Bước 3.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y^{2} + 3 y + 1 - x = 0$

Bước 3.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.4

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 3$ , và $c = 1 - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.6.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{1 + 8 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Bước 3.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})$ .

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Bước 3.6.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.5

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.7.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Bước 3.7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 - \sqrt{1 + 8 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.4.1

Sắp xếp lại $1$ và $8 x$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 3.7.4.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 3.7.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{8 x + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{8 x + 1})}{4}$

Bước 3.7.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (3) - (\sqrt{8 x + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Bước 3.7.4.5

Viết lại $- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})$ ở dạng $- (3 + \sqrt{8 x + 1})$ .

$y = \frac{- (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Bước 3.7.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ và $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ rồi so sánh.

Bước 5.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Bước 5.3

Tìm tập xác định của $- \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{1 + 8 x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$1 + 8 x \geq 0$

Bước 5.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$8 x \geq - 1$

Bước 5.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 1$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x \geq - 1$ cho $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Bước 5.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Bước 5.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{8}$

Bước 5.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x \geq - \frac{1}{8}$

Bước 5.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Bước 5.4

Tìm tập xác định của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5.5

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ là tập xác định của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ , nên $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Bước 6