Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ cho $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ cho $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Bước 3.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Khai triển $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ bằng cách di chuyển $\frac{y}{3} + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.4.3

Nhân $\frac{y}{3} + 1$ với $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Bước 3.5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Bước 3.6

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Bước 3.7

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Bước 3.7.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Bước 3.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Rút gọn $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Bước 3.7.2.1.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Bước 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ có là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Bước 5.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Bước 5.2.3.1.2

Chia $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Bước 5.2.3.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{1}{3} x + 1$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Bước 5.2.3.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Bước 5.2.3.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Bước 5.2.3.5

Nhân $\frac{x}{3} + 1$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Bước 5.2.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Bước 5.2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Bước 5.2.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Bước 5.2.3.8

Nhân $3$ với $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Bước 5.2.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Bước 5.2.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Rút gọn $3 \ln (\frac{x}{3})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Bước 5.3.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Bước 5.3.3.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Bước 5.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Bước 5.3.3.3

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Bước 5.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Bước 5.3.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Bước 5.3.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.2.2

Rút gọn.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.3.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.3.5.3.4

Tính số mũ.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Bước 5.3.4.2

Cộng $\ln (\frac{x}{3})$ và $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Bước 5.3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Bước 5.3.6.2

Viết lại biểu thức.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ là hàm ngược của $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$