Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{t}{e^{t}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{t})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{t} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 2.3

Nhân $e^{t}$ với $1$ .

$\frac{e^{t} - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} - t e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{t} t + e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 4.2

Đưa $e^{t}$ ra ngoài $- e^{t} t + e^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $e^{t}$ ra ngoài $- e^{t} t$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t}}{e^{2 t}}$

Bước 4.2.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1}{e^{2 t}}$

Bước 4.2.3

Đưa $e^{t}$ ra ngoài $e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1$ .

$\frac{e^{t} (- t + 1)}{e^{2 t}}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{t}$ và $e^{2 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $e^{2 t}$ ra ngoài $e^{t} (- t + 1)$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t}}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- t} (- t + 1)}{1}$

Bước 4.3.2.4

Chia $e^{- t} (- t + 1)$ cho $1$ .

$e^{- t} (- t + 1)$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- t} (- t) + e^{- t} \cdot 1$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Bước 4.6

Nhân $e^{- t}$ với $1$ .

$- e^{- t} t + e^{- t}$

Bước 4.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- t} t + e^{- t}$ .

$- t e^{- t} + e^{- t}$