Giải tích Ví dụ

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = 3 - t$ .

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.4

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.7

Nhân $3 - t$ với $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.9

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.11

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.12

Cộng $- t$ và $t$ .

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 2.13

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t^{3}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$