Giải tích Ví dụ

$f (x) = (4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 4 e^{x} + \cos (x)$ và $g (x) = e^{3 x} - \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - \sin (x)] + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 x} - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 e^{x} + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 6.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 e^{x}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} - \sin (x))$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$(3 e^{3 x} - \cos (x)) (4 e^{x} + \cos (x)) + (4 e^{x} - \sin (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$