Giải tích Ví dụ

$f (x) = (9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Bước 2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Bước 3.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{5}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Bước 3.4

Nhân $5$ với $9$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Bước 3.5

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{- 2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 (- 2 x^{- 3}))$

Bước 3.7

Nhân $- 2$ với $- 6$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Bước 5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(9 x^{5} \sec (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + \frac{- 6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.3

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{6}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\sec (x) \cdot 6}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \sec (x)}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.5

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{6 \sec (x)}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\tan (x) (6 \sec (x))}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.6

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Bước 6.4.7

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) \frac{12}{x^{3}}$

Bước 6.4.8

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{12}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{\sec (x) \cdot 12}{x^{3}}$

Bước 6.4.9

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + 45 x^{4} \sec (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$