Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ ở dạng ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Bước 1.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 5}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 3

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Bước 4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Bước 5

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Bước 7

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Bước 8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ và $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Bước 8.3

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Bước 8.4

Tách các phân số.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Bước 8.5

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 8.6

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 8.7

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Bước 8.8

Viết $\sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Bước 8.9

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Bước 8.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Bước 8.10

Kết hợp $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Bước 8.11

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Bước 8.12

Tách các phân số.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Bước 8.13

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 8.14

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.15

Nhân $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.15.1

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Bước 8.15.2

Kết hợp $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Bước 8.16

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Bước 8.17

Tách các phân số.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Bước 8.18

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 8.19

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.20

Đưa $\csc (x)$ ra ngoài $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.21

Tách các phân số.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.22

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.23

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.24.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.24.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.24.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.24.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Bước 8.25

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.25.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Bước 8.25.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.25.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Bước 8.25.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Bước 8.25.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 8.26

Tách các phân số.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 8.27

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 8.28

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 8.29

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 8.30

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{3} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.30.1

Di chuyển $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Bước 8.30.2

Nhân $\sin^{3} (x)$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.30.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Bước 8.30.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Bước 8.30.3

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Bước 8.31

Chia $5$ cho $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$