Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$ ở dạng ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{2 \cdot - 1}]$

Bước 1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{- 2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \sec (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sec (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\sec (x) \tan (x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\sec (x)$ và $\frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\sec (x) \cdot 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Bước 5.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Bước 5.2.5

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{2 \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\tan (x) (2 \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$

Bước 5.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$- \frac{2 \tan (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$