Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} + 11}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 11}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 11$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 7

Vì $11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $11$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 8

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 9.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Bước 12

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Bước 13

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Bước 15.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Bước 16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Bước 17

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Bước 18

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + (- x^{2} - 1 \cdot 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1.1.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.1.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.3

Nhân $- 1$ với $11$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.4

Kết hợp $- 11$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.2

Để viết $2 x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.3

Kết hợp $2 x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.5.1.1

Đưa $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.5.1.1.1

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.1.1.2

Đưa $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.1.1.3

Đưa $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.1.1.4

Đưa $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.1.3

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.3.5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.1

Nhân $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 19.4.2

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 19.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 19.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 19.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Bước 19.4.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.7

Nhân $- 2$ với $11$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 22}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.8

Đưa $2$ ra ngoài $- 22$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.4.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Bước 19.4.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Để viết $3 x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.3

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.3.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.5.3.5

Chia $4$ cho $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Bước 19.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 19.7

Nhân $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.7.1

Nhân $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Bước 19.7.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.7.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.7.2.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.7.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.7.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.7.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.7.2.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Bước 19.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$