Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\ln (x)}$ ở dạng ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 9

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 11

Nhân $\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ với $\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 12

Kết hợp.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 13

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 14.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 15

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 17.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 18

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 18.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 2 \ln^{1} (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 19

Rút gọn.

$\frac{1 - 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 20

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x) \cdot 1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 21

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 22.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 x^{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$