Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{x}}{9 x^{2} + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $18 x$ và $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân $18$ với $- 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 x e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 18 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.3

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.4

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x)$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 4.4.5

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$