Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(4 x + 3)}^{2} \ln (4 x + 3)$

Bước 1

Viết lại ${(4 x + 3)}^{2}$ ở dạng $(4 x + 3) (4 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x + 3) (4 x + 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 2

Khai triển $(4 x + 3) (4 x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.3

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.5

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.1.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Bước 3.2

Cộng $12 x$ và $12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 24 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$ và $g (x) = \ln (4 x + 3)$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 3)] + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{4 x + 3} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.4

Nhân $4$ với $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + 0) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Cộng $4$ và $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} \cdot 4 + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.6.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x + 3}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Bước 6.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x^{2} + 24 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.8

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x^{2}$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.10

Nhân $2$ với $16$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.11

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.13

Nhân $24$ với $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 6.14

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + 0)$

Bước 6.15

Cộng $32 x + 24$ và $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $16 x^{2} + 24 x + 9$ với $\frac{4}{4 x + 3}$ .

$\frac{(16 x^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Viết lại $16 x^{2}$ ở dạng ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.2.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Bước 7.2.2.4

Viết lại đa thức này.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.2.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 4 x$ và $b = 3$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${(4 x + 3)}^{2}$ và $4 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $4 x + 3$ ra ngoài ${(4 x + 3)}^{2} \cdot 4$ .

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4}{1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.3.2.4

Chia $(4 x + 3) \cdot 4$ cho $1$ .

$(4 x + 3) \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.5

Nhân $4$ với $4$ .

$16 x + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.6

Nhân $3$ với $4$ .

$16 x + 12 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Bước 7.2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 x + 12 + 32 x \ln (4 x + 3) + 24 \ln (4 x + 3)$