Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 3

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Bước 3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Bước 3.4

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Bước 4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{3} - 7 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $6 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Bước 4.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Bước 4.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Bước 5

Di chuyển $x^{\frac{4}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

Bước 6

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

Bước 6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

Bước 6.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

Bước 6.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Bước 6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Bước 6.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

Bước 6.6.2

Cộng $- 4$ và $6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = 6 x - 7$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.4

Nhân $6$ với $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Cộng $6$ và $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 8.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 12.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 14

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 15

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.4

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $x$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.6.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6.2

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.6.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.7

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.8

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.8.3

Viết lại biểu thức.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.8.4

Chia $4 x^{\frac{2}{3}}$ cho $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.9

Kết hợp $- 7$ và $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.10

Nhân $- 7$ với $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 16.2.12

Cộng $6 x^{\frac{2}{3}}$ và $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$